Математик: последняя теорема Ферма и многое другое можно доказать проще

Последняя теорема Ферма – идея о том, что какое-то простое уравнение не имеет решений – не была решена почти 350 лет, пока в 1995 году Оксфордский математик Эндрю Уайлс не доказал, что доказал, что Колин МакЛарти из Case Western Reserve доказал, что теорему можно доказать более просто.

Эта теорема называется последним Пьером де Ферма, потому что из его многочисленных предположений она была последней и самой длинной, чтобы быть непроверенной. В 1630 году Ферма написал на краю старой греческой математической книги, что он мог бы продемонстрировать, что никакие целые числа (целые числа) не могут сделать уравнение xn + yn = zn истинным, если n больше 2.

Он также писал, что у него нет места на полях, чтобы показать доказательство. Может ли Ферма доказать свою теорему или нет, до обсуждения, но проблема стала самой известной в математике. Поколение после поколения математиков пыталось и не смогло найти доказательства.

Итак, когда Уайльс прорвался в 1995 году: «Это было просто шокирующим для многих из нас, что это можно доказать», – сказал МакЛарти. «И мы подумали:« Что теперь? »Не было новой самой известной проблемы».

Математик: последняя теорема Ферма и многое другое можно доказать проще

МакЛарти является профессором философии Западного Заповедника, который специализируется на логике и получил диплом бакалавра по математике. Он не разработал доказательство для Ферма, но показал, что теорему можно доказать с гораздо меньшей теорией множеств, чем Уайлс.

Уайлс полагался на свое глубокое понимание чисел и произведений других, в том числе Александра Гротендика, для разработки его 110-страничного доказательства и последующих исправлений.

Гротендик произвел революцию в теории чисел, перестроил алгебраическую геометрию в 1960-х и 1970-х годах. Он использовал сильные предположения для поддержки абстрактных идей, в том числе идеи существования вселенной множеств настолько больших, что стандартная теория множеств не может доказать, что они существуют. Стандартная теория множеств состоит из наиболее часто используемых принципов или аксиом, используемых математиками.

МакЛарти называет работу Гротендика «инструментарием» и показал, что в январе на совместном заседании математики в Сан-Диего в январе требуется лишь небольшая часть, чтобы доказать последнюю теорему Ферма.

«Большинство теоретиков числа похоже на гонщиков. Они получают лучшее из автомобиля, но они не строят всю машину, – сказал МакЛарти. «Гротендик создал набор инструментов для создания автомобилей с нуля».

«Там, где Гротендик использовал сильную теорию множеств, я показал, что он мог бы сделать лишь небольшую часть», – сказал МакЛарти. «Я использую арифметику конечного порядка, где все наборы построены из чисел всего за несколько шагов.

«Вам не нужны наборы множеств чисел, которые Гротендик использовал в своем инструментарии, а Эндрю Уайльс доказал теорему в 90-х годах».

МакЛарти показал, что все идеи Гротендика, даже самые абстрактные, могут быть оправданы с использованием очень мало теории множеств – гораздо меньше, чем стандартная теория множеств. В частности, они могут быть оправданы с помощью «арифметики конечного порядка». Это использует числа и множества чисел и множество тех и так далее, но гораздо меньше, чем стандартная теория множеств.

«Я ценю цельность создания Grothedieck, – сказал МакЛарти. «Я хочу взять все это и сделать его более пригодным для практикования математиков».

Математик Харви Фридман, который за три года получил степень бакалавра, магистра и доктора философии в Массачусетском технологическом институте и начал преподавать в Стэнфордском университете в возрасте 18 лет, называет работу «проясняющим первым шагом», сообщает ScienceNews. Фридман, теперь профессор математики-почетного профессора в Университете штата Огайо, призывает продлить работу Макларти, чтобы убедиться, что теорему можно доказать только числами, без каких-либо множеств.

«Последняя теорема Ферма – это просто цифры, поэтому нам кажется, что мы должны быть в состоянии доказать это, просто говоря о цифрах», – сказал МакЛарти. «Я считаю, что это можно сделать, но для этого потребуется много нового. Это будет очень сложно. Харви видит мою работу в качестве предварительного шага к этому, и я согласен.”